Dylan BANSARD-TRESSE

Doctorant

Equipe de recherche : Physique mathématique

Thèse 

Inégalités de concentration pour des systèmes non-uniformément hyperboliques
Directeur de thèse : Jean-René Chazottes

Thématiques de recherche

Systèmes dynamiques, théorie ergodique, concentration, théorie des valeurs extrêmes, processus ponctuels

Résumé 

Les inégalités de concentration permettent de contrôler les fluctuations d'observables très générales, en particulier celles qui sont définies de manière implicites. Cela englobe bien sûr les sommes ergodiques. Les observables en question sont très variées : distance de Kantorovich entre la mesure empirique et la mesure invariante, entropies empiriques, estimateur de la dimension de corrélation, etc. Dans le cadre des systèmes dynamiques définis par l'itération d'une application non-uniformément hyperbolique, il y a déjà certains résultats importants mais de nombreuses questions sont ouvertes. La première série de questions concerne les décalages de Markov sur un alphabet infini qui est une classe de systèmes dynamiques remarquable, avec notamment des phénomènes de transition de phase (états d'équilibre multiples). Le premier but de cette thèse est d'obtenir une classification complète du type d'inégalités de concentration : de la borne gaussienne à des bornes polynomiales en fonction de la régularité du potentiel. Le second but est d'étudier d'autres systèmes dynamiques non-uniformément hyperboliques où on peut jouer, d'une part, sur la décroissance de la queue des temps de retour à l'ensemble de base qui permet de récupérer de l'hyperbolicité et, d'autre part, la régularité du jacobien abstrait. Un des buts est par exemple de déterminer les conditions optimales pour avoir la concentration gaussienne. Enfin, en paralllèle, il y aura de nouvelles applications à développer, notamment celle qui concerne la distance de Kantorovich entre la mesure empirique et la mesure invariante. En effet, cette question fait intervenir l'estimation de l'espérance sous la mesure invariante de cette distance. C'est bien compris en dimension un mais très mal en dimension supérieure, notamment en présence d'un attracteur étrange (comme pour l'application de Hénon).