Théophile DE TRUCHIS DE LAYS

Doctorant

Equipe de recherche : Physique mathématique

Thèse

Métastabilité stochastique d'écosystèmes à grande dimensions
Directeur de thèse : Jean-René Chazottes

Thématiques de recherche

théorie des jeux, transitions rares, poids de Boltzmann, processus non markovien, clustering en macro-états, énergie virtuelle

Résumé

Les modèles usuels de métastabilité en évolution s'intéressent généralement au devenir d'espèces ou de traits particuliers.ères ; rarement au devenir des écosystèmes entiers. En particulier, un cadre théorique clair pour décrire des phénomènes de transitions rares et rapides entre des phases de relative stabilité manque dans le paysage actuel. L'objectif est donc de pallier à ce manque - pour cela, il semble indiqué d'utiliser un cadre venu de la théorie des jeux développé en particulier par W. Sandholm, les jeux de population, où des agents en nombre fini suivant différentes stratégies (assimilables à des espèces, ou des ensemble de traits) reçoivent certains gains en fonction de leurs rencontres avec les autres individus. Un tel modèle permet de relaxer des hypothèses usuelles en théorie des jeux, comme la rationnalité des agents, leur connaissance des équilibres, la réversibilité des processus. Etant donné un paramètre de température, les agents peuvent ensuite réviser de temps en temps leurs stratégies suivant un certain protocole, à un taux proportionnel aux poids de Boltzmann des gains des stratégies accessibles. Ceci définit donc pour le vecteur des fréquences des différentes stratégies un processus markovien évoluant dans l'espace d'états des vecteurs de population. La taille de cet espace d'états étant exponentielle en le nombre de stratégies possibles, il faut pour caractériser la dynamique se ramener à un problème de plus basse dimension. Une technique pour cela, éprouvée en dynamique moléculaire (où les molécules restent dans une conformation donnée un temps macroscopique avant de changer rarement et rapidement de conformation), est celle des Markov State Models - l'espace d'états est partitionné en un nombre limité de macro-états, définissant entre ces macro-états un processus stochastique de transition issu du processus markovien sous-jacent. Malheureusement, ce nouveau processus ne bénéficie plus de la propriété de Markov. Pourtant, sous certaines conditions (sur les macro-états, le pas de temps...) il devient possible d'approximer ce processus par un processus de markov. La question est donc de bien définir ces macro-états. Il est possible de définir, par analogie avec Gibbs, une énergie virtuelle sur un espace d'états fini, à partir des limites sur chaque état du log des lois invariantes du processus sous-jacent. Ainsi, en définissant les macro-états comme voisinages de minima de cette énergie virtuelle permet a priori de valider les hypothèses demandées et donc de fournir une approximation appropriée et statistiquement complète du processus sous-jacent.